De los teoremas de Mertens a la Hipótesis de Riemann

Abstract

Los teoremas de Mertens son tres resultados relacionados con la densidad de los números primos, enunciados y demostrados por Franz Mertens en 1874. En lo que a la estructura del trabajo se re ere, se empieza con una introducción histórica de la Teoría Analítica de Números y posteriormente se procede a ilustrar algunos conceptos de análisis real necesarios para el perfecto entendimiento del trabajo, como la integral de Riemann-Stieltjes, la constante de Euler o la función contador de primos, siguiendo con algunas propiedades de los números primos, los cuales son la base de este trabajo. En esta sección se muestran muchos de los teoremas y conceptos más importantes en este campo, como puede ser el Teorema de los Números Primos, resultado el cual muchos matemáticos consideran un punto de inflexión en la historia de la Teoría de Números. Cabe destacar que este teorema no se demuestra por su complejidad, pero con el fin de hacer el trabajo autocontenido no se utiliza en ninguna demostración. Una vez explicados estos conceptos procedemos a la siguiente sección, donde se enuncia y demuestra el objetivo del trabajo, los teoremas de Mertens, siguiendo con la demostración del Teorema de Gronwall, para la cual se hace uso del último Teorema de Mertens. Finalmente y como no podía ser de otra forma, cerramos este estudio con una introducción a las características de la famosa función zeta de Riemann y la conocida Hipótesis de Riemann, relacionándola con el Teorema de Gronwall y dando una preciosa equivalencia a esta hipótesis, la llamada desigualdad de Robin.