Cálculo exterior: aplicaciones en Relatividad General

Abstract

En este trabajo estudiaremos el cálculo exterior, una herramienta muy importante de la Geometría Diferencial que es muy útil en Relatividad General. El objetivo será llegar a las ecuaciones de estructura de Cartan, que sirven para calcular la curvatura del espacio-tiempo mediante el cálculo exterior sin coordenadas. Para llegar a las ecuaciones de Cartan, iremos haciendo un repaso de todos los conceptos necesarios para llegar hasta ellas, desde los elementos más básicos, como las variedades topológicas, hasta las herramientas más desarrolladas, como el producto exterior y la diferencial exterior, ambas pertenecientes al cálculo exterior. Como la Geometría Diferencial es una materia muy extensa, iremos mostrando los resultados más importantes que nos lleven directamente al siguiente escalón hacia las ecuaciones de estructura de Cartan. Lo que queremos conseguir con este trabajo es hacer una primera toma de contacto con la Geometría Diferencial y el cálculo exterior más que un estudio detallado de dichas disciplinas, así que no se hará demostraciones rigurosas de los resultados. Sí mostraremos algunos de los cálculos más básicos en los anexos, que servirán de ejemplo de cómo trabajar con los tensores y las herramientas más importantes del cálculo exterior. Como aplicaciones a Relatividad General, mostraremos cómo es el procedimiento a seguir para calcular la curvatura de una variedad pseudo-Riemanniana a partir de las ecuaciones de Cartan, dado que el espacio-tiempo de la Relatividad General es una variedad pseudo-Riemanniana. Haremos los cálculos para diferentes métricas, algunas de ellas utilizadas para modelizar la curvatura del espacio tiempo.